证明x/(1+x)<Ln(1+x)<x
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设函数y=（1+x）ln(1+x)-x
求导得：y的导=（1+x）*（1/(1+x)）+ln(1+x)-1=ln(1+x)
很显然在x>0时，ln(1+x)>0恒成立，所以函数y在x>0时为增函数。
现在考虑初值x=0时，y=0
所以在x>0时，y>0，
即当x>0时，（1+x）ln(1+x)>x
求导得：y的导=（1+x）*（1/(1+x)）+ln(1+x)-1=ln(1+x)
很显然在x>0时，ln(1+x)>0恒成立，所以函数y在x>0时为增函数。
现在考虑初值x=0时，y=0
所以在x>0时，y>0，
即当x>0时，（1+x）ln(1+x)>x
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网易云信
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f(x)=x/(1+x)-ln(1+x)
f'(x)=[1*(1+x)-x*1]/(1+x)²-1/(1+x)
=1/(1+x)²-1/(1+x)
=-x/(1+x)²
定义域是1+x>0
x>-1
所以(1+x)²>0
所以x>0,-x<0,f'(x)<0,减函数
所以f(x)<f(0)=0-0=0
所以f(x)<0
所以x/(1+x)<ln(1+x)
f'(x)=[1*(1+x)-x*1]/(1+x)²-1/(1+x)
=1/(1+x)²-1/(1+x)
=-x/(1+x)²
定义域是1+x>0
x>-1
所以(1+x)²>0
所以x>0,-x<0,f'(x)<0,减函数
所以f(x)<f(0)=0-0=0
所以f(x)<0
所以x/(1+x)<ln(1+x)
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用拉格朗日中值定理：
对于任意的x＞0，取函数f(t)＝ln(1＋t)，t∈[0，x]。
则f(t)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，所以存在一点ξ∈(0，x)，使得
[f(x)－f(0)]/x＝ln(1+x)/x＝f'(ξ)＝1/(1＋ξ)
因为 0＜ξ＜x，所以 1/(1＋x)＜1/(1＋ξ)＜1，
所以 1/(1＋x)＜ln(1+x)/x＜1
此即 x/(1＋x) ＜ ln(1+x) ＜x
对于任意的x＞0，取函数f(t)＝ln(1＋t)，t∈[0，x]。
则f(t)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，所以存在一点ξ∈(0，x)，使得
[f(x)－f(0)]/x＝ln(1+x)/x＝f'(ξ)＝1/(1＋ξ)
因为 0＜ξ＜x，所以 1/(1＋x)＜1/(1＋ξ)＜1，
所以 1/(1＋x)＜ln(1+x)/x＜1
此即 x/(1＋x) ＜ ln(1+x) ＜x
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