Question

在三角形ABC中，若(cos A)/(cos B)=b/a=4/3,试判断三角形的形状

Answer 1

解：
cosA/cosB=b/a=4/3≠1，因此A≠B a≠b
由正弦定理得
b/sinB=a/sinA b/a=sinB/sinA
又b/a=cosA/cosB，因此
cosA/cosB=sinB/sinA
sinBcosB=sinAcosA
2sinBcosB=2sinAcosA
sin(2B)=2sin(2A)
A=B(舍去)或2A+2B=180°
A+B=90°，三角形是直角三角形。

本题也可以通过余弦定理解。
由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
b²=a²+c²-2accosB cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
cosA/cosB=b/a
[(b²+c²-a²)/(2bc)]/[(a²+c²-b²)/(2ac)]=b/a
(b²+c²-a)²/(a²+c²-b²)=b²/a²
a²b²+b²c²-b⁴=a²b²+a²c²-a⁴
c²(a²-b²)-(a⁴-b⁴)=0
c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0
(a²-b²)(c²-a²-b²)=0
b/a=4/3 a≠b，因此只有a²+b²=c²，三角形是直角三角形。

结论是一样的。另外说一句，其实b/a=4/3除了在判定a≠b时有用外，没有其它什么作用，这个比值只要是不等于1的正数，随便什么比值，都可以判定出三角形是直角三角形。

Answer 2

假设是直角三角形，cos A  =b/c      cos B =a/c   则 (cos A)/(cos B)=(b/c)/(a/c)=b/a

本题满足此条件，所以三角形ABC是直角三角形