Question

已知关于x的方程x^2-|x|+a-1=0有4哥不等根，则实数a的取值范围是（ ） 为什么？..

Answer 1

令t=|x|，则方程化为
t²-t+a-1=0　　　　（1）
若原方程有4个不同的实数，
则方程（1）有两个不同的正实根，
从而　⊿=1-4(a-1)>0
t1+t2=1>0，
t1·t2=a-1>0
解得　1<a<5/4

Answer 2

|X|^2-|X|+a-1=0，
Δ=1-4(a-1)=5-4a>0,
a<5/4,
又|X|≥0，又是不相等的四个根，
|X|的两根之和=1，两根之积>0，
∴a-1>0，∴a>1
综合之：1<a<5/4。

Answer 3

设函数y=x^2-|x|+a-1，易知函数的图像是两支开口向上，对称轴分别为x=1/2和x=-1/2的抛物线，其与x轴交点纵坐标为a-1，因为方程x^2-|x|+a-1=0有4个不等根，所以图像与x轴必有4个不同的交点，则a-1>0，即a>1.

Answer 4

x^2-|x|+a-1=0，所以x^2+a-1=|x|，设y1=x^2+a-1,y2=|x|，y1是关于y轴对称的抛物线，y2是两坐标轴的平分线（在四个象限内都有图像）。要使y1、y2 的图像有四个交点，只要满足y1的最小值为负就行了，即a-1＜0，a＜1.