Question

lim(1+1/(2+x) )^2x等于多少 x→∞

步骤

Answer 1

lim(1+1/(2+x))^2x=lim((2+x+1)/(2+x))^2x

=lim((3+x)/(2+x))^2x

=lim(((3+x)^2x)/((2+x)^2x))

=lim(e^(ln((3+x)^2x))/(e^(ln((2+x)^2x)))
（a^(loga_b)=b，证明：a^N=b，N=loga_b，a^N=a^(loga_b)=b）

=lim(e^(2xln(3+x))/(e^(2xln(2+x))))
（loga_b^n=nloga_b）

=lim(e^(2xln(3+x)-(2xln(2+x))))
（a^m/a^n=a^(m-n)）

=lim(e^(2x(ln(3+x)-ln(2+x))))

=lim(e^(2x(ln(3+x)/(2+x))))
（loga_m-loga_n=loga_(m/n)）

因为，x→0，
所以lim((3+x)/(2+x))=1
所以lim(ln(3+x)/(2+x)))=0
所以lim(e^(2x(ln(3+x)/(2+x))))=1
所以lim(1+1/(2+x))^2x=1