大学数学解题 求大神解答……

已知f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]上可微,试证明存在怎么处理这两个存在量和解题思路... 已知f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]上可微,试证明存在
怎么处理这两个存在量 和解题思路
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vdakulav
2013-03-01 · TA获得超过1.5万个赞
知道大有可为答主
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证明:

本题考的是微分中值定理,关键在于构造函数

构造函数g(x)=x²
易知:
函数f(x),g(x):(你题设条件应该是没有写:f(x)在[a,b]连续,在(a,b)内可导,且a≠b)
(1)在[a,b]连续;
(2)在(a,b)上可导,
于是:
根据柯西中值定理,存在η∈(a,b),使得:
[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η.........................(1)
又根据拉格朗日中值定理知,存在ξ∈(a,b),使得:
f(b)-f(a)=(b-a)f'(ξ).......................................(2)
将(1)带入(2),得:
(b-a)f'(ξ)/(b²-a²)=f'(η)/2η
因此:
f'(ξ)=(a+b)f'(η) / 2η
一笑而过jLNJ1
高粉答主

2013-03-01 · 每个回答都超有意思的
知道大有可为答主
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做辅助函数f(x)/x^2,对其使用柯西中值定理,得f'(η)/2η=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2),又根据拉格朗日中值定理,f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a),代入上式得f'(η)/2η=f'(ζ)(b-a)/(b^2-a^2),即f'(ζ)=(a+b)f'(η)/2η。
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