求和的裂项相消方法

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基本公式为:


常用公式:

(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]

(2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

(3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

(5) n·n!=(n+1)!-n!

(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

(7)1/(√n+√n+1)=√(n+1)-√n

(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]


裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 通项分解(裂项)倍数的关系。


举例:

【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解:an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂项)

则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)- [1/(n+1)](裂项求和)

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

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