Question

已知3sin^2（α）+2sin^2（β）=5sin（α），则sin^2（α）+cos^2（β）取值范围是

Answer 1

已知3sin^2（α）+2cos^2（β）=2sin（α），则sin^2（α）+cos^2（β）取值范围是

解 因为 3sin²α+2cos²β=2sinα 2cos²β=2sinα-3sin²α=sinα(2-3sinα)≥0
0≤sinα≤2/3

所以 sin²α+cos²β=sinα-½sin²α
=-½（sin²α-2sinα）
=-½（sin²α-2sinα+1-1）
=-½（sinα-1）²+½
因为 0≤sinα≤2/3
所以 -1≤sinα-1≤-1/3
1/9≤（sinα-1）²≤1
0≤-½（sinα-1）²+½≤4/9
即 0≤sin²α+cos²β≤4/9

追问

注意题设是5sina

Answer 2

已知3sin ^ 2（α）+2 COS ^ 2（β）= 2sin（α），罪恶^ 2（α）+ COS ^ 2（β）的范围内

解决方案，因为3sin 2α+ 2余弦2β=2sinα2cos 2β=2sinα-3sin 2α=sinα（2-3sinα）≥0
0≤sinα≤三分之二

所以罪2α+余弦2 β=sinα？罪2α
= - ？ （罪2：α-2sinα）
= - ？ （2，α-2sinα+1-1）
= - 罪吗？ （sinα-1）2 +？
0≤sinα≤三分之二
所以-1≤sinα-1≤-1 / 3
1/9≤（sinα-1）2≤1
0≤ - ？ （sinα-1）2 +？ ≤4/9
即0≤罪2α+ COS 2β≤4/9

Answer 3

方便起见，我用a,b来表示α，β
3sin²a+2sin²b=5sina
则：2sin²b=5sina-3sin²a
因为sin²b∈【0,1】
所以，0≦5sina-3sin²a≦2，又sina∈【-1,1】
得：0≦sina≦2/3
sin²b=(5/2)sina-(3/2)sin²a
则：cos²b=1-sin²b=(3/2)sin²a-(5/2)sina+1
所以，sin²a+cos²b=(5/2)sin²a-(5/2)sina+1
=(5/2)(sina-1/2)²+3/8
当sina=1/2时，sin²a+cos²b有最小值3/8；
当sina=-1时，sin²a+cos²b有最大值6；
所以，sin²a+cos²b的取值范围是【3/8，6】

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