Question

在三角形ABC中,已知sin^2 ×A+sin^2 ×B<sin^2 ×C,请判断三角形ABC的形状。

Answer 1

∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B=180°-∠C
所以sin（A+B）=sinC
又∵sin² A+sin² B<sin² C

∴sin² A+sin²B<(sinAcosB+sinBcosA)²
sin² A+sin²B<sin²Acos²B+sin²Bcos²A+2sinAsinBcosAcosB
sin² A(cos²B-1)+sin²B(cos²A-1)<2sinAsinBcosAcosB

-2sin²Asin²B<2sinAsinBcosAcosB
cosAcosB-sinAsinB>0

cos(A+B)>0
∴∠A+∠B<90°
∴∠C>90°
所以△ABC为钝角三角形。

Answer 2

根据正弦定理得：
a^2+b^2<c^2,
根据余弦定理：
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)<0
∴C为钝角，
∴ΔABC是钝角三角形。