已知函数f（x）=ln（ [e^x-1]/x)且数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)求证｛an｝单调递减且an>0
证明：
f (x) = ln（ [e^x-1]/x）定义域是 { x>0 或者 x<0 }
f ' (x) = 【 x* ( e^x ) - e^x + 1】/ 【x* ( e^x - 1 )】
因为a1=1>0
现在只需要讨论 f ' (x)在 x>0时 的正负
在 x>0 时 分母 x* ( e^x - 1 ) > 0
令 g(x) = x* ( e^x )- e^x + 1
且 g ' (x) =[ x* ( e^x ) - e^x + 1] ' = x* ( e^x ) > 0 【当x>0 时】
因此g(x)在 x>0时 单调递增
那么有 g(x) > g(0) = 0 【x>0 时】
所以 f ' (x) = g(x) /【x* ( e^x - 1 )】> 0
所以 f (x)在x>0时 递增
且 f (x) > lim(x趋于0时)f (x) = 0 【当x>0时 】
所以 an>0
2.
再证｛an｝单调递减
令h(x) = f(x) - x = ln（ [e^x-1]/x）- x= ln [ (e^x-1) / （x* e^x） ] 【当x>0 时】
h ' (x) = 【当x>0 时】
再按照1的方法可知
h ' (x) < 0 【当x>0 时】
因此h(x)在x>0 时递减
h (x) < lim(x趋于0时)h (x) = 0 【当x>0 时】
3.
所以a(n+1) - an = f(an) - an = h (an) < 0
所以｛an｝单调递减
PS:
h ’（x）实在不想写了 ，打公式打得要吐了。
你自己求出来写上就可以了
显然，对任意x∈R是严格大于0
函数f（x）是严格单调递增
所以，A（N +1）= A（N）/（-A（N）），对任意n∈N *
变形有一个（n +1）-2 * A （n）的一个（n +1）的（n）= 0,1 /一个（n）-1 /（n +1）的-2 = 0,1 /一个（n +1）= 1 / （N）-2
1 / A（N）= 1 /（1）-2 *（N-1）
（1）=四千〇二十三分之一和n = 2012成（2012年）= 1
F（A（2012））= F（1）= 2 +π/ 4
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显然，对任意x∈R是严格大于0
函数f（x）的严格单调递增
A（N +1）= A（N）/（-A（N）），对任意n∈N *
变形（N +1）-2 * A（N ）的第（n +1）（n）的= 0，1 /（n）的-1 /（第（n +1））-2 = 0,1 / A（N +1）= 1 /（N） - 2
1 / A（N）= 1 /（1）-2 *（N-1）
（1）= 1/4023，和n = 2012（2012）= 1
> F（A（2012））= F（1）= 2 +π/ 4
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