Question

已知实数a,b,c满足a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3求a^4+b^4+c^4.

已知实数a,b,c满足a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3求a^4+b^4+c^4.

Answer 1

将a^3＋b^3＋c^3＝3、a＋b＋c＝1、a^2＋b^2＋c^2＝2、ab＋bc＋ac＝－1/2 代入上式，得：
3－3abc＝2＋1/2，∴abc＝1/6。

∵ab＋bc＋ac＝－1/2，∴（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＋2abc（a＋b＋c）＝1/4，
将abc＝1/6、a＋b＋c＝1 代入上式，得：（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＋1/3＝1/4，
∴（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＝－1/12。

∵a^2＋b^2＋c^2＝2，∴a^4＋b^4＋c^4＋2［（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2］＝4，
将（ab）^2＋（bc）^2＋（ac）^2＝－1/12 代入上式，得：
a^4＋b^4＋c^4－1/6＝4，∴a^4＋b^4＋c^4＝25/6。