Question

已知a，b，c均为正整数，其中c不是完全平方数，且|a-b|=24,√a+√b＝√c，求a+b+c的值。

Answer 1

设c = z²d, 其中z, d为正整数, d > 1且不含平方因子(c不是完全平方数).

由√a+√b = √c得√a = √c-√b, 平方得a = c+b-2√(bc).
可得2√(bc)为整数, 故4bc = 4z²bd为完全平方数, 于是bd为完全平方数.
而d不含平方因子, 可得d | b, 且b/d为完全平方数, 可设b = y²d, y是正整数.
同理, 由√b = √c-√a平方得4ac为完全平方数, 最后可得a = x²d, x是正整数.
代回√a+√b = √c得x+y = z.

不妨设a > b, 于是a-b = |a-b| = 24, 代入得(x²-y²)d = 24.
d是24的约数, d > 1且不含平方因子, 于是d = 2, 3, 6.
若d = 2, (x+y)(x-y) = 12, 有1组正整数解x = 4, y = 2.
代回得a = 32, b = 8, c = 72, a+b+c = 112.
若d = 3, (x+y)(x-y) = 8, 有1组正整数解x = 3, y = 1.
代回得a = 27, b = 3, c = 48, a+b+c = 78.
若d = 6, (x+y)(x-y) = 4, 无正整数解, 舍去.

综上a+b+c = 112或78.

Answer 2

参见
http://tieba.baidu.com/p/2192016991