Question

高二的数学归纳法证明

1-1/4=3/4，（1-1/4）（1-1/9）=4/6，（1-1/4）（1-1/9）（1-1/16）=5/8，…，（1-1/4）（1-1/9）…（1-1/n*2）=f(n).猜想出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明。

Answer 1

f(n)=(n 1)/2n（n为整数且大于等于2）
证明：(1)当n=2时，f(n)=3/4,成立；
(2)假设当n=k（k＞2）时，f(n)=（k 1)/2k成立。
当n=k 1时，f(n)=[(k 1)/2k]x(1-1/k^2)=(k 2)/[2(k 1)]
直接代入通项公式得f(n)=[(k 1) 1]/[2(k 1)]=(k 2)/[2(k 1)]
显然成立。
综合(1)(2)，对一切整数n(≥2)，命题f(n)都成立。

Answer 2

f(n)=(n+1)/2n (n=2,3,4......) n=2时,f(2)=3/4成立 设n=k时有f(k)=(1-1/4)(1-1/9)......(1-1/k²)=(k+1)/2k f(k+1)=(1-1/4)(1-1/9)......(1-1/k²)[1-1/(k+1)²]=(k+1)/2k [1-1/(k+1)²]=(k+2)/2(k+1)=(k+1
+1)/2(k+1)故结论成立

Answer 3

(1-1/4)(1-1/9)……(1-1/n²)=(n+1)/2n
证明
1)
当n=2时
1-1/4=(2+1)/2*2=3/4
2)
假定n=k(k≥2)时(1-1/4)(1-1/9)……(1-1/n²)=(n+1)/2n成立
当n=k+1时
(1-1/4)(1-1/9)……[1-1/(n+1)²]
=[(n+1)/2n]*[(n+1)²-1]/(n+1)²
=(n+2)/2(n+1)
根据1) 2)
(1-1/4)(1-1/9)……(1-1/n²)=(n+1)/2n对n≥2成立

Answer 4

f(n)=(n+1)/2n(n>=2)
1)当n=2时，成立
2)假设n-1成立，下证n也成立
f(n)=f(n-1)*(1-1/n^2)=n/2(n-1)*(1-1/n^2) = (n+1)/2n
综上所述，f(n)=(n+1)/2n(n>=2)