Question

设下列立体的密度μ=1,求由z=x2+y2和z=12-x2-y2所围成的立体的质心

Answer 1

问：设下列立体的密度μ=1,求由z=x2+y2和z=12-x2-y2所围成的立体的质心

答：这个题目要计算的是由两个曲面围成的立体的质心，其中曲面的方程是z = x2 + y2 和 z = 12 - x2 - y2。我们首先需要确定这个立体的三维区域以及相应的密度函数。根据两个曲面的方程，可以发现它们在z轴方向的交点是z=6. 因此，这个立体的z轴高度范围是[0,6]。在xy平面上，这个立体的投影区域是一个圆形区域。圆心在xy平面上的坐标为(0,0)，半径为r=sqrt(6)。因此，立体的体积可以用极坐标系来表示：V = ∫(0,2π) ∫(0,r) [(12 - r2) - r2] r dr dθ = 2π ∫(0,r) (12r - 2r3) dr = 2π [(6r2 - (1/2)r4)](0,r) = 2π (54 - 9) = 99π

答：立体的总质量可以根据密度函数计算：M = ρV = 1 * 99π = 99π然后，我们还需要计算出立体的质心坐标 (x0, y0, z0)。由于这个立体的密度函数是一个常数，因此可以将质心公式简化为：(x0, y0, z0) = (1/M) ∫∫R (x, y, z) dV在极坐标系下，立体中任意一点的坐标为 (r cosθ, r sinθ, z)。根据上面的公式，我们可以对 r,θ,z 分别进行积分：x0 = (1/99π) ∫(0,2π) ∫(0,r) ∫(0,6) r cosθ * (x2 + y2) dz dr dθy0 = (1/99π) ∫(0,2π) ∫(0,r) ∫(0,6) r sinθ * (x2 + y2) dz dr dθz0 = (1/99π) ∫(0,2π) ∫(0,r) ∫(0,6) z * (x2 + y2) dz dr dθ这三个积分都可以通过极坐标变换来化简。具体来说，我们可以将 x2 + y2 替换为 r2，然后代入相应的变换公式得到最终结果：x0 = 0y0 = 0z0 = (1/99π) ∫(0,2π) ∫

答：z0 = (1/99π) ∫(0,2π) ∫(0,r) ∫(0,6) z r2 dz dr dθ = (1/99π) ∫(0,2π) ∫(0,r) (72r4/4) dr dθ = (9/11)因此，这个由 z = x2 + y2 和 z = 12 - x2 - y2 所围成的立体的质心坐标为 (0, 0, 9/11)。