Question

求解一道曲线积分的题

C是一个在平面x+y+z=1上的简单光滑封闭的曲线
展示 曲线积分 ∫c zdx-2xdy+3ydz 只取决于 C 的面积 而不是取决与其形状和位置

Answer 1

斯托克斯公式就能证明，(z,-2x,3y)的旋度

x分量：d(3y)/dy-d(-2x)/dz=3
y分量：d(z)/dz-d(3y)/dx=1
z分量：d(-2x)/dx-d(z)/dy=-2

所以原积分=∫∫ 3dydz+dzdx-2dxdy，积分域是C在平面内包围的部分

因为C在一个线性平面内，所以∫∫ 3dydz只和面积有关，同理另外两项也只和面积有关。

平面方程z=1-x-y，故dz/dx=-1，dz/dy=-1，

所以dS=√(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²) dxdy=√3 dxdy，

同理得到 dS=√3 dydz=√3 dxdy=√3 dzdx，

所以，原积分=2S/√3 ，只和面积有关。

Answer 2

首先用斯托克斯公式把曲线积分转化为对坐标的曲面积分，令P=z，Q=-2x，R=3y，则ðR/ðy-ðQ/ðz=3，ðP/ðz-ðR/ðx=1，ðQ/ðx-ðP/ðy=-2，所以原积分=∫∫3dydz+dzdx-2dxdy。再把对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分，由于闭曲线C在平面z=1-x-y上，所以平面法向量的方向余弦cosα=-z'x/[1+(z'x)^2+(z'y)^2]=1/√3，同理cosα=cosβ=cosγ=1/√3，所以转化为对面积的曲面积分=∫∫(3cosα+cosβ-2cosγ)dS=(2/√3)∫∫dS，而∫∫dS就等于闭曲线C所围面积A，所以原积分=2A/√3，即只与面积有关。