Question

函数f(x)={ -(x-1)²,x<1, { (3-a)x+4a,x>=1,

对任意x1不等于x2,都有[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0成立,则实数a的取值范围是?请给出解题目过程.谢谢!

Answer 1

分步讨论
1、x1>=1,x2>=1,x1<>x2
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)={[(3-a)x1+4a]-[(3-a)x2+4a]}/(x1-x2)
=(3-a)>0
a<3
2、x1<1,x2>=1,x1<x2
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)={-(x1-1)²-[(3-a)x2+4a]}/(x1-x2)
=[x1²-2x1+1+(3-a)x2+4a]/(x2-x1)>0
因为 x2-x1>0
所以 (x1-1)²+(3-a)x2+4a>0
(x1-1)²>0,x2>=1
(x1-1)²+(3-a)x2+4a>0+(3-a)+4a=3-3a>0
a<1

追问

1、x1>=1,x2>=1,x1x2

这里的x1x2是什么意思
2、x1=1,x11,x2<=1吗

追答

题目中对x1,x2的定义，以及f(x)是分段函数，所以要分段讨论，考虑x1,x2具体在什么位置？
实际上x1 和 x2的位置是对等的，我讨论了x1=1,x11,x2x2的结果肯定是一样的！