Question

已知实数x y满足方程(x-2)^2+y^2=3,在圆上求一点p使p点到A(2,4)的距离最小

①求一点p使p点到A(2,4)的距离最小
②并且求x^2+y^2的最大值和最小值

Answer 1

已知实数x y满足方程(x-2)²+y²=3，①在园上求一点p使p点到A(2,4)的距离最小；②并且求x²+y²的最大值和最小值
解：①园心(2，0)，半径r=√3，A点与园心的连线正好垂直于x轴，当x=2时y=√3，故P(2，√3)与A
的距离最小；
②把园的方程写成参数形式：x=2+(√3)cost；y=(√3)sint；那么

x²+y²=[2+(√3)cost]²+3sin²t=4+4(√3)cost+3cos²t+3sin²t=7+4(√3)cost
由于-1≦cost≦1，故7-4√3≦x²+y²≦7+4√3；即最小值为7-4√3；最大值为7+4√3。

Answer 2

(1)该点P为经过圆心与A 点的直线与圆的交点
圆心O(2，0)
OA=√[(2-2)²+(4-0)²]=4
PA=OA-OP=4-√3 （√3为圆半径）
(2) (x-2)²+y²=3
x²+y²-4x+4=3
x²+y²=4x-1
当x=2-√3 有最小值7-4√3
当x=2+√3 有最大值7+4√3