Question

高一数学一道，在线求解：在三角形ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，其中B=π/3

（1）若sinA=根号3/3，三角形ABC的面积为3倍根号2+根号3，求a
（2）若b=2，sinB+sin（c-A）=2sin2A，求三角形ABC的面积

Answer 1

（1）若sinA=根号3/3，三角形ABC的面积为3倍根号2+根号3，求a
a/sinA=b/sinB
a/√3/3=b/√3/2
3a=2b
S=ab*sinC/2
=ab*sin(A+B)/2
=ab*(sinAcosB+cosAsinB)/2
=ab*[(√3/3)(1/2)+(√6/3)(√3/2)]/2
=ab(√3+3√2)/12=3倍根号2+根号3
ab=12
a=2√2
（2）若b=2，sinB+sin（c-A）=2sin2A，求三角形ABC的面积
sinB+sin（c-A）=2sin2A
sin(c+A)+sin（c-A）=2sin2A
sinCcosA+cosCsinA+sinCcosA-cosCsinA=2sin2A
sinCcosA=sin2A
sinC=2sinA
c=2a
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(5a^2-4)/4a^2
1/2=(5a^2-4)/4a^2
a=2/√3
c=4/√3
S=ac*sinB/2=(2/√3)(4/√3)*(√3/2)/2=√3/2

追问

第一问怎么判断的cosA正负？

追答

1/2<根号3/3<根号2/2
30<a<45
或
135<a<150
b=60
195<a+b<210
a锐角

追问

sinCcosA=sin2A
怎么得到的sinC=2sinA？

追答

sinCcosA=sin2AsinCcosA=2sinAcosAsinC=2sinA

Answer 2

（1）∵B=π/3，∴sinB=根号3/2。又∵角B大于0小于90度，∴cosB=1/2 又∵sinA=根号3/3，∴cosA=根号6/3 又∵S=1/2(absinC) a/sinA=b/sinB ∴b=（3/2)a ∴S=(3/4)a∧2 ×sin(A＋B)=(3/4)a∧2 ×(根号3/根号18) 又∵S=3倍的根号2＋根号3 ∴a=2倍的根号2