Question

高等数学 极限问题

在求函数连续的时候，有时只要求趋于0时的极限，有时要分别求趋于0正和0负的极限。谁能具体分析总结一下啊。最好能举例说明。谢谢！

Answer 1

你说的还应该扩展为：在判断函数连续性的时候，有时只要求趋于x0时的极限，有时要分别求趋于x0+和x0-的极限。这要看函数在x0邻域的情况，如果函数在x0的邻域内表达式单一，一般只考虑趋于x0时的极限和函数值即可；如果两边的表达式不一（比如分段函数），就必须同时考虑左右极限和函数值。有时候虽然形式不像分段函数，但是实质是分段函数要特别注意，也要考虑左右极限，例如√f^2(x)之类，实质上就是|f(x)|,就是分段函数。

Answer 2

求函数连续性的时候，基本上有如下三种情况：

1、如果是分段函数，且分段函数的左右表达式不一致（比如x＞0时f（x）=x；x＜0时f（x）=-x就是在0的左、右表达式不一致），此时求极限就要左、右极限分开求，因为所带入的函数表达式不同；

2、如果是分段函数，但分段函数的左右表达式一致（比如x≠0时f（x）=sinx / x，；x=0时f（x）=1就是在0的左、右表达式一致），此时求极限就不需要左、右极限分开求，因为所带入的函数表达式相同；

3、如果只有一个函数表达式，一般情况下不需要左、右极限分开求，直接带入函数式就极限就行了；但是有特殊情况，就是函数表达式中含有诸如e^x ，a^x 或 arctanx的情况，也要左、右极限分开求。

希望对您有帮助！

Answer 3

首先你要清楚一个函数连续的充分条件是什么：
也就是这个函数的左右极限等于这个点的函数值，趋于0正和0负的极限的意思就是说函数在x=0这一点的左极限和右极限。因为因为有些分段函数在这个点的极限一样，但是和函数值不一样，就不连续。具体的你可以参考百科----间断点的定义。
不懂可以问我。