Question

抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3,0），C（0，-3），

抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3,0），C（0，-3），（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于X轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径。

Answer 1

（1）用待定系数法可以求得抛物线的解析式为y=x²-2x-3
(2)存在
由已知得A、B两点关于对称轴对称，且A（-1，0），所以对称轴x=1是直线AB的垂直平分线，所以PA=PB.在三角形PAC中，PA-PC<AC,所以当A、C、P三点共线时，PA-PB=PC为最大。
连结AC并延长交对称轴于P,此时的点P到B、C两点距离差最大。设直线AC为y=kx+b,则0=-k+b-3=b∴k=-3 ∴y=-3x-3令x=1，得y=-6∴P（1，-6）（2）设平行于x轴的直线为y=n，则n=x²-2x-3 即x²-2x-3-n=0设对称轴与x轴的交点为D,根据对称性知△DMN为等腰直角三角形设M（x1,y1)、N(x2,y2),则x2-1=n,1-x1=n又x1+x2=2,x1x2=-3-n求出n=(1±√17)/2所以此圆的半径为(1+√17)/2或=(√17-1)/2