Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．

（Ⅱ）若方程f （x）=
14
(m-3x)在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）

（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x，得g′(x)=
41+x-1=
3-x1+x，
∴当3＜x≤4时g'（x）＜0，当2≤x＜3时g'（x）＞0，g'（3）=0，
即g（x）在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，
∴在x=3时g（x）有最大值4ln4-3．（6分）
∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，
∴g（2）-g（4）=4ln
35+2=2(2ln
35+1)=2ln
9e25．
由9e≈24.46＜25，于是2ln
9e25＜0．
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范围为[4ln5-4，4ln4-3）．（9分）

最后答案中g(2)小于个g（4)但为什么m 的范围为是[4ln5-4，4ln4-3)呢？不是应该
[4ln3-2，4ln4-3）．吗？
方程不是f （x）= 14(m-3x)改成f （x）= 4分之1(m-3x)

Answer 1

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅱ）若方程f(x)=(m-3x)/4在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）

(II)解析：∵f(x)=ln(1+x)-x，
∴原方程可整理为4ln(1+x)-x=m．
令g(x)=4ln(1+x)-x，（x>-1）

==>g’(x)=4/(1+x)-1=0==>(3-x)/(1+x)=0==>x=3g’’(x)=-4/(1+x)^2<0
∴函数g(x)在x=3处取极大值g(3)=4ln4-3
即g（x）在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数
∵g(2)=4ln3-2≈2.39，g(4)=4ln5-4≈2.44，
g(2)<g(4)
要方程f(x)=(m-3x)/4在[2，4]上有两个不相等的实数根
只须g(4)<=m<g(3)
即4ln5-4<=m<4ln4-3∴m的取值范围为[4ln5-4，4ln4-3）．
答案正确

若m∈[4ln3-2，4ln4-3）．
假设g(2.11)= g(4)
在区间[2，2.11）不会满足所给条件

Answer 2

（II）该问中，若f（x）=14(m-3x)，是这样吗？在解答中，我看不明白这个
（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．