如图,以知BD是圆O的直径,A为BD延长线上的一点,AC与圆O相切于点E,CB垂直AB,AE∶EC=2∶1,DE+BE=4+2√2

如图,以知BD是圆O的直径,A为BD延长线上的一点,AC与圆O相切于点E,CB垂直AB,AE∶EC=2∶1,DE+BE=4+2√2,则三角形ABC的面积是多少?... 如图,以知BD是圆O的直径,A为BD延长线上的一点,AC与圆O相切于点E,CB垂直AB,AE∶EC=2∶1,DE+BE=4+2√2,则三角形ABC的面积是多少? 展开
mbcsjs
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连接OE、BE、DE,设CE=x,圆O半径为r,AD=y
已知AE/EC=2/1,所以:AE=2CE=2x
因为AC为圆O的切线,所以:OE⊥AC
且,∠AED=∠ABE
又,CB⊥AB
那么:Rt△AEO∽Rt△ABC
所以:AE/AB=AO/AC=OE/BC……………………………………(1)
即:2x/(2r+y)=(r+y)/3x……………………………………(2)
而,△AED∽△ABE
所以:AE/AB=AD/AE=DE/BE……………………………………(3)
即:2x/(2r+y)=y/2x…………………………………………(4)
由(2)(4)得到:
(r+y)/3x=y/2x
所以:y=2r
代入(4)得到:y=√2x
代入(3)中AD/AE=DE/BE得到:y/2x=DE/BE
所以:DE/BE=√2/2
即:BE=√2DE
已知,DE+BE=4+2√2
所以:DE+√2DE=4+2√2
则,DE=2√2
所以,BE=√2DE=√2*2√2=4
已知BD为圆O直径,所以△BED为直角三角形
那么,在Rt△BED中,由勾股定理得到:BD^2=BE^2+DE^2
即:(2r)^2=16+8=24
所以,r=√6
则:y=2r=2√6、x=y/√2=2√3
所以:
AC=3x=6√3、AB=2r+y=4√6
那么,在Rt△ABC中由勾股定理得到:
BC^2=AC^2-AB^2=108-96=12
所以,BC=2√3
所以,△ABC面积S=(1/2)AB*BC=(1/2)*4√6*2√3=12√2
百度网友aa96858
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连接OE,OE⊥AC⊥ 设OE=R ∥ ≌ ∽ ∠ △√
由已知得,EC和BC都是圆O切线
EC=BC
AE∶EC=2∶1,AC=3EC
AC=3BC
RT△AOE ∽ RT△ABC
OE/OA=BC/AC=1/3,OA=OE+AD
OE/(OE+AD)=1/3,R/(R+AD)=1/3,
AD=2R,
AE是圆O切线
∠AED=∠ABE,因∠EAD=∠EAB
△ADE ∽ RT△ABE
AE^2=AD*AB,AE^2=AD*(AD+DB)=2R*(2R+2R)=8R^2
AE=2√2R
BE/DE=AB/AE=4R/2√2R=√2
BE=√2DE,因DE+BE=4+2√2,得
DE=2√2,BE=4
DB^2=DE^2+BE^2
4R^2=8+16=24
R^2=6
S△AEO=1/2AE*R=1/2*2√2R^2=1/2*2√2*6=6√2
S△AEO:S△ABC=(0A/AB)^2=(3R/4R)^2=9/16
S△ABC=16/9*6√2=32√2/3
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zgxiaoxie
2013-03-14 · TA获得超过348个赞
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连接OE,OC。显然OC⊥ BE,故DE//OC
AD:DO=AE∶EC=2∶1 ,所有AB=4OB
由AE∶EC=2∶1,又BC=EC有: AC=3BC,从而AB=2√2BC, 又AB=4OB 推出:OB=√2/2BC
即:BC:OB=√2
DE//OC可知:BE:DE=BC:OB=√2,又由题意:DE+BE=4+2√2
可知:DE=2√2,BE=4.
得:BD=2√6,AB=4√6,BC=√2 OB=2√3
S△ABC=(1/2)AB*BC=(1/2)*4√6*2√3=12√2
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