Question

过已知点A（3，0）的直线与圆C：x²+y²+x-6y+3=0相交于P、Q两点，

且OP⊥OQ（其中O为原点），求直线l的方程 .求答题思路和解答过程..谢谢大家了

Answer 1

一般情况下，对直线要分类讨论：
①直线斜率不存在时
直线是x=3
此时9+y²+9-6y+3=0
所以(y-3)²=-12
明显不可能
②直线斜率存在时，设为k
那么直线是y-0=k(x-3)
即y=k(x-3)
代入圆C得x²+k²(x-3)²+x-6k(x-3)+3=0
化简得(k²+1)x²+(-6k²-6k+1)x+9k²+18k+3=0
设P(x1,k(x1-3)),Q(x2,k(x2-3))
那么x1+x2=(6k²+6k-1)/(k²+1),x1x2=(9k²+18k+3)/(k²+1)

因为OP⊥OQ所以OP*OQ=0
即x1x2+k²(x1-3)(x2-3)=0
即(k²+1)x1x2-3k²(x1+x2)+9k²=0
所以9k²+18k+3-3k²*(6k²+6k-1)/(k²+1)+9k²=0

化简得8k²+6k+1=0所以(2k+1)(4k+1)=0
所以k=-1/2或k=-1/4

所以直线方程是y=-(x-3)/2或y=-(x-3)/4

如果不懂，请追问，祝学习愉快！