Question

如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

（我初二的，能不能不用相似证?求答案，谢谢谢谢~！）

Answer 1

 

(1)AB=DE,∠A=∠D,而AF=DC,故AC=DF(AF和DC同加上CF)

∴Δ ABE ≌ΔDEF

∴BE=FE.

又∠BCF=∠EFD

BC//EF,

既然BE和EF平行且相等，故BCEF为平行四边形

 

（2）如BCEF是菱形，则必BE⊥AD,BC=BF，设BE与AD的交点为H,

已知AB=4,BC=3,由勾股定理，AC=5

令CH=h,HC=FH=m,，则AH=5-m,AF=5-2m.

根据勾股定理，有：

BC²=BH²+CH²,9=h²+m²

AB²=AH²+BH²,16=h²+(5-m)²

由上两式立即可得：m=9/5,AF=5-2*9/5=7/5

Answer 2

1）证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
AC=DF，∠A=∠D，AB=DE

∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．

（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．因为要用到相似三角形，过程省略。
不理解请追问，理解请及时选为满意回答！(*^__^*)谢谢

追问

说了不用相似的亲~~ - -