Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<π )的图像关于点B(-π/4,0)对称

点B到函数y=f(x)的图像的对称轴的最短距离为π/2，且f(π/2)=1
求f(x)的解析式
若f(θ)=1/3,且0＜θ＜π，求cos2θ

Answer 1

1.周期为2π，所以ω=1，
由对称中心B和f(π/2)=1
可知φ=π/4
最后易得A=根号2
所以f(x)=根号2sin(x+π/4)

2.f(θ)=1/3，所以用和角公式展开得
sinθ+cosθ=1/3
又因为(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
联立可得，sinθ=(1+根号17)/6，（由于θ在一二象限，所以取正值）
所以cos2θ=1-2(sinθ)^2=(根号17)/9

Answer 2

最小正周期=2π
所以 ω=1 φ=0.75π或0.25π
代入（0.5π，1）得Asin(0.5+0.25π或0.75π)=1
解得：A=±根号2 又因为大于0 所以取根号2，所以φ不可取0.75π
f(x)=根号2*sin(0.5x+0.25π)

若f(θ)=1/3，则根号2*sin(0.5θ+0.25π)=1/3
sin(0.5θ+0.25π)=1/3根号2
cos(θ+0.5π)=1-2*（sin(0.5θ+0.25π)）平方=8/9
-sin(θ)=8/9
sin(θ)=-8/9
cos(2θ)=1-2sin(θ)*sin(θ)=17/81
Ps:本题似乎和“且0＜θ＜π”无关