Question

请问这几个数学定理怎么证明？

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Answer 1

证明：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d

②证：若Sm=Sp.则Sm+p=0
因为Sm=Sp
所以ma1+m(m-1)d/2=pa1+p(p-1)d/2
故(m-p)a1+(m+p-1)(m-p)d/2=0
因为m≠p所以a1+(m+p-1)d/2=0
所以S(m+p)=(m+p)a1+(m+p)(m+p-1)d/2=(m+p)[a1+(m+p-1)d/2]=(m+p)x0=0
所以Sm+p=0

③若Sm=p,Sp=m，证：Sm+p=-(m+p).
不放设p>m，则
Sp-Sm=a(m+1)+a(m+2)+....+ap=1/2*(p-m)*[a(m+1)+ap]=m-p
所以a(m+1)+ap=-2
而项数(m+1)+p=1+(m+p)
所以a1+a(m+p)=-2
所以S(m+p)=1/2*(m+p)*[a1+a(m+p)]= 1/2*(m+p)*(-2) =-(m+p)
所以Sm+p=-(m+p).

④证S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) S偶-S奇=nd S奇/S偶=an/a(n+1)
由前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，得
S2n=2n(a1+a2n)/2=n(a1+a2n)
根据等差数列m+n=p+q,求证am+an=ap+aq，得
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)

S偶-S奇=a2+a4+……+a2n-(a1+a3+……+a2n-1)
=(a2-a1)+(a4-a3)+……+(a2n-a2n-1)
=d+d+……+d=nd (2n为偶数项，根据后一项减去前一项刚好有n个d)
所以 S偶-S奇=nd

这个数列共有2n项，其中偶数项与奇数项均有n项，则
S奇=n[a1+a(2n-1)]/2，S偶=n(a2+a2n)/2
S奇/S偶=[a1+a(2n-1)]/(a2+a2n)=(an+an)/[an+1+a(n+1)]=2an/2a(n+1)=an/a(n+1)
所以 S奇/S偶=an/a(n+1)

⑤项数为2n-1,证S(2n-1)=(2n-1)an S奇-S偶=an S奇/S偶=n/(n-1)
S(2n-1)=(2n-1)[a1+a(2n-1)]/2=(2n-1)(an+an)/2=(2n-1)an
所以 S(2n-1)=(2n-1)an

这个数列共有2n-1项，其中偶数项有n-1项，奇数项有n项
S奇=a1+a3+……+a(2n-1)=(a1+a2n-1)+(a3+a2n-3)+……+(an-1+an+1)+an
=2an+2an+……+2an+an=2an x (n-1)/2+an=nan ( 有(n-1)/2个2an )
S偶=a2+a4+……+a(2n-2)=(a2+a2n-2)+(a4+a2n-4)+……+(an-2+an+2)
=2an+2an+……+2an=2an x (n-1)/2=(n-1)an ( 有(n-1)/2个2an )
S奇-S偶=nan-(n-1)an=an S奇/S偶=nan/[(n-1)an]=n/(n-1)
所以S奇-S偶=an S奇/S偶=n/(n-1)

S奇/S偶=n/(n-1)证法2：
这个数列共有2n-1项，其中偶数项有n-1项，奇数项有n项，
S奇=n[a1+a(2n-1)]/2，S偶=(n-1)[a2+a(2n-2)]/2
因为1+(2n-1)=2+(2n-2)
所以a1+a(2n-1)=a2+a(2n-2)
S奇/S偶=n[a1+a(2n-1)]/2÷(n-1)[a2+a(2n-2)]/2=n/(n-1)
所以S奇/S偶=n/(n-1)

很高兴能为你解答，若不明白欢迎追问，满意一定要采纳哦！太难打字了，祝你学习进步，天天开心！！！