Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=4，BC=3，点D与点A关于y轴对

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=4，BC=3，点D与点A关于y轴对称，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

1. 解：

   

   

2. 解：

   

3. 解：

   

   第2,3种情况也可能存在，应用2问中的相似求解，书写太过繁琐。

   

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Answer 2

（1）AC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5；
OD=OA=BC=3，∴ D点坐标为(3,0)；
（2）∵ OA=OD，OC是AD的垂直平分线，∴ ∠ODC=∠OAC；
又 ∵ ∠CEF=∠ACB=∠OAC（EAF）=∠ODC；
∴ ∠CED=180°-∠CEF-∠AEF=180°-∠EAF-∠AEF=∠AFE；
△CDE与△EAF有两个角相等，∴ △CDE∽△EAF；
（3）若△EFC为等腰三角形，即 CE=EF（或 CE=CF 或 EF=CF）；
若CE=EF，则由（2）中结论可知，△CDE≌△EAF，∴ AE=CD，而 CD=AC=5，∴ AE=5；
OE=AE-OA=5-3=2，E点坐标是(2,0)；
其它两种情况，如EF=CF，则△EAC是等腰三角形，AE=(AC/2)*(5/3)=25/6，E(7/6,0)；
如 CF=CE，则∠CFE=∠CEF=∠ACB，则F与A重合、E与D重合，不和题意；

Answer 3

解：
（1）直角三角形ABC中，AC=√（AB²+BC²）=5，D的坐标为（3，0）；

（2）因为△AOC与△DOC中，AO=OD，OC是公共边，∠AOC=∠DOC=90°，两个△全等，于是∠CAE=∠CDE；
另外，△FEC中，外角∠AFE=∠FEC+∠FCE；△ACE中，外角∠DEC=∠CAE+∠FCE=∠ACB+∠FCE=∠FEC+∠FCE，即∠AFE=∠DEC，
△AEF与△DCE的两个对应角相等，因此两个△相似。

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。

假设CE=EF，并且△AEF与△DCE相似，因此两个△全等。则AE=CD=5，于是，xE-xA=5，xE=5+xA=5-3=2。
E点坐标为（2,0）

分析：本题，不可能出现CE=CF情况，因为点E不与A和D重合，∠CFE>∠CAE=∠CEF。