Question

一个复变函数积分的问题！！请各位大侠看看

1.计算积分∫(L)|z|dz，其中曲线L是：（1）连接-1到1的直线段，（2）连接-1到1，中心在原点的上半圆周。(3)连接-1到1，中心在原点的的下半圆周。

计算结果：
(1)题答案为1，(2)题答案为2，(3)题答案为2

我想问的是，被积函数|z|为基本初等函数，在复平面上处处解析，由柯西定理，沿任意路径L的积分只与起点和终点有关，而与路径无关，那么上面三个小问结果应该一样才对吧?
为什么算出来结果不是一样的啊？

Answer 1

原因是
"被积函数|z|为基本初等函数，在复平面上处处解析"
这句话不对。

一种想法是,|z|^2=z*z共轭
第二个是不满足柯西黎曼条件
偏v偏任何都是0
但是偏u偏任何都不是0
所以不是在复平面上处处解析

其次由刘维尔定理，只有常值函数才在全复平面解析

追问

大侠，我照你的思路想了想，发现被积函数在复平面上没有满足C-R条件的点，即复平面处处不可导，也就是处处不解析，是的吧？我想确认一下^_^

追答

个人觉得是