Question

SC为球O的直径，A,B是该球上两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=π/4,若棱锥A-SBC的体积为4/3√3,则球O的体积为多少

Answer 1

解答：
SC是直径，设半径为R
又∠asc=∠bsc=π/4,
∴ △SCA，SCB都是等腰直角三角形
∴ 设∠AOB=θ
则 △AOB的面积S=(1/2)R²*sinθ
可以把几何体看成以AOB为底面的两个三棱锥，SO，OC分别是高
∴ V=(1/3)*(1/2)R²*sinθ*2R=4√3/3
∴ R³sinθ=4√3
∴ sinθ=4√3/R³
在三角形AOB中，利用余弦定理
4=R²+R²-2R²cosθ
∴ cosθ=(R²-2)/R²
利用sin²θ+cos²θ=1
∴ 48/R^6+(R²-2)²/R^4=1
∴ 48+(R²-2)²*R²=R^6
∴ 48-4R^4+4R²=0
∴ R^4-R²-12=0
∴ (R²-4)(R²+3)=0
∴ R²=4
∴ R=2
∴ V=(4/3)πR³=32π/3