Question

利用奇偶性求定积分

上限为2，下限为-2，求定积分∫(x-3)(4-x²)½

Answer 1

解答：
原式=∫(x-3)(4-x²)½dx
=∫x(4-x²)½dx-∫3(4-x²)½dx（上限2下限-2）
设f(x)=x(4-x²)½，g(x)=3(4-x²)½
因为f(-x)=-x(4-x²)½=-f(x)，所以f(x)为奇函数
因为g(-x)=3(4-x²)½=g(x)，所以g(x)为偶函数

所以原式=0-2∫3(4-x²)½dx (上限2，下限0）
=-6∫(4-x²)½dx
=-6π （其中定积分是一个以2为半径的圆的面积的1/4）

Answer 2

解：
原式=∫<-2→2>(x-3)(4-x²)½dx
=∫<-2→2>x·√(4-x²)dx-3∫<-2→2>√(4-x²)dx
∵x·√(4-x²)在定义域【-2,2】上是奇函数
√(4-x²)在定义域【-2,2】上是偶函数
∴∫<-2→2>x·√(4-x²)dx=0
∫<-2→2>√(4-x²)=2∫<0→2>√(4-x²)=π·2²/4=π 【积分区域是一个四分之一圆】
∴原式=0+π=π

答案：π