Question

李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的( )条件. f(x,y)对y的偏导连续又是解唯一的（）条件。

1.李普希茨条件。2.f（x，y）对y的偏导连续。3.一阶微分方程初值问题解唯一。
这三者之间的关系到底是怎么样的？谁是谁的充分条件，谁是谁的必要条件？有的试题答案上也不统一的。

Answer 1

在常微分方程的解存在唯一的问题中，有一个充分条件：
1.f(x,y)总在某矩形区域内连续，2.f(x,y)对y满足Lipschitz条件
在上述两个条件下，微分方程的解存在唯一。

在你提的问题中，如果我们先假定f(x,y)总在某矩形区域内连续，那么：
李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的(充分 )条件
事实上，f（x，y）对y的偏导连续，就意味着f（x，y）对y的偏导有界，按照拉格朗日中值定理，可以得到李普希兹条件，也就是说f（x，y）对y的偏导连续是李普希兹条件的(充分 )条件

关系是这样的：f（x，y）对y的偏导连续→李普希兹条件→ 一阶微分方程初值问题解惟一