Question

已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,现将函数f(x)的图像按照向量α平移,得到g(x)=2+x+sin(x+1)的图像,

则向量α=？

Answer 1

设α=(a,b)
因为f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x)；

设x'=x+a ; g(x)=y'=y+b=f(x)+b
所以y'=2+x'+sin(x'+1)
所以y+b=2+x+a+sin(x+a+1)
所以f(x)=y=2+a-b+x+sin(x+a+1)
因f(-x)=-f(x)，所以f(-x)=2+a-b-x+sin(-x+a+1)=-[2+a-b+x+sin(x+a+1)]
两边公式化简，左=右，（2+a-b)-x-sin[x-（a+1)]=-(2+a-b)-x-sin[x+(a+1)]
所以得
2+a-b=0
a+1=0

所以a=-1；b=1

Answer 2

α=(-1,1)