Question

已知函数f(x)=alnx-x^2+1.若a＜0，且对任意x1,x2∈（0，+∞），都有|f(x1)-f(x2)≥|x1-x2|,求a的取值范围

Answer 1

由拉格朗日中值定理可知，存在x0∈（x1，x2）（不妨设x1<x2）f’（x0）=（f（x1）-f(x2)）/(x1-x2),又x1，x2任意，所以x0可取遍（0，+∞）所有数，要证题中式子，即证|f'(x)|>=1恒成立，解个二次方程就行了，我的的结果是a<=-1/8.你自己算吧，很简单的

追问

拉格朗日中值定理?这个没有学过现在！

追答

如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a),(百度上有)，高考时只要知道的定理（当然要存在），都能用，况且拉氏定理这么有名，老师应该在拓展时因该讲的，我上高中时貌似专题讲过。
如果不能接受，咱有一般的方法：由x1，x2任意，不妨设x2>x1，求导后显然f'(x)=f(x)+x恒成立，且x<x1，又x1任意，所以f(x)+x在(0,+∞)上递减求导，下面就简单了。。