Question

如图，已知二次函数y=x^2+bx+c(c不等于0）的图像经过点A(-2,m）（m小于0),与y轴交于点B想，AB//x轴，

且3AB=2OB.
求m的值
求二次函数的解析式
如果二次函数的图像与x轴交于C、D两点（点C在左侧).问线段BC上是否存在点P，使三角形POC为等腰直角三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由

Answer 1

二次函数y=x^2+bx+c(c不等于0）的图像经过点A(-2,m）（m小于0),与y轴交于点B想，AB//x轴，且3AB=2OB.则有
B点坐标为（0，m），AB=2
所以OB=3，即得m=-3
代入二次函数y=x^2+bx+c
解得b=2，c=-3
二次函数的解析式为y=x^2+2x-3
二次函数的图像与x轴交于C、D两点（点C在左侧).有C点坐标为（-3，0）
直线BC方程为x+y=-3
使三角形POC为等腰直角三角形；情况有：
（1）OP=OC，得P点与B点重合，点P的坐标为（0，-3），角POC为直角，满足要求。
（2）OP=PC，得点P的坐标为（-3/2，-3/2），角CPO为直角，满足要求。

Answer 2

已知二次函数y=x^2+bx+c(c不等于0）的图像经过点A(-2,m）（m小于0),与y轴交于点B想，AB//x轴，且3AB=2OB.求m的值

AB//x轴，
B(0,m)
且3AB=2OB
3*2=2OB
OB=3
ImI=3,m小于0
m=-3
A(-2,-3)
B(0,-3)
二次函数y=x^2+bx+c(c不等于0）
-3=4-2b+c
-3=c
解得b=2
二次函数y=x^2+2x-3

如果二次函数的图像与x轴交于C、D两点（点C在左侧).问线段BC上是否存在点P，使三角形POC为等腰直角三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由
如果二次函数的图像与x轴交于C、D两点（点C在左侧).
x^2+2x-3=0
x1=-3
x2=1
C(-3,0)
D(1,0)
OB=OC=3
三角形BOC为等腰直角三角形
所以线段BC上存在点P，使三角形POC为等腰直角三角形；
点P在线段BC的中点上
P(-3/2,-3/2)