Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a²+c²-b²=1/2bc,

(1)求sin²（A+C)/2+cos2B的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值

Answer 1

a²+c²-b²=1/2bc 是不是错了，不然做不出来，应是a²+c²-b²=1/2ac吧
余弦定理：a²+c²-b²=2accosB 2cosB=1/2 cosB=1/4
对比可得：cosB=1/4 sinB=根15/4
A+C=180-B (A+C)/2=90-B/2
sin(A+C)/2=sin(90-B/2)=cos(B/2)
sin²（A+C)/2+cos2B
=cos^2(B/2)+cos2B
=(1+cosB)/2+cos2B
=2cos^2B+1/2cosB-1/2
=2*1/16+1/2*1/4-1/2
=1/8-3/8
=-1/4

若b=2，求△ABC面积的最大值
S=1/2acsinB

a^2+c^2-1/2ac=b^2
a^2+c^2-1/2ac>=2ac-1/2ac=3ac/2 当a=c取等号。
所以b^2>=3ac/2
即：4>=3ac/2
ac<=8/3
Smax=1/2acsinB=1/2acSin60<=1/2*8/3*根15/4=(根15)/3

Answer 2

）因为a^2+c^2-b^2=1/2ac

根据余弦定理可得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/4

因为sin^2(A+C)/2=sin^2(π/2-B/2)=cos^2(B/2)=(cosB+1)/2

cos2B=2cos^2B-1

所以sin^2(A+C)/2+cos2B=(cosB+1)/2+2cos^2B-1=-1/4

(2)b²=a²+c²﹣2acCosB=a²﹢c²﹣½ac∴4=a²﹢c²﹣½ac≥2ac-½ac＝3/2ac
∴ac≤8/3又SinB=√(15/16)=(√15)/4∴SΔABC=½acSinB=½ac×﹙√15/4﹚≤½×8/3x(√15)/4
=(√15)/3∴ΔABC面积的最大值为（√15）/3