Question

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)对角线B1D⊥平面A1C1B;

老师证明了H是重心，平面A1DB和平面D1B1C分体对角线AC为三等分
希望得到准确的解释
是体对角线AC1

Answer 1

 

 

为什麼要证重心，

连接B1D1，，BD，因A1C1⊥B1D1

因，BB1⊥平面A1B1C1D1，所以，B1B⊥A1C1，所以A1C1⊥平面B1D1BD，

因，B1D∈平面B1D1BD，所以B1D1⊥A1C1.

设正方体棱长为a,A1C1与B1D1交于O1,BD=√2a,BB1=a,B1D=√3a,

B1O1=√2a/2,O1B=√6/2a,O1B与B1D交于M,

因B1D/O1B=BD/B1B=√2,△BB1D∽BB1O1,∠BDB1=∠B1BO1,∠BB1D=∠B1O1B,

∠BDB1=∠BB1D=90°,∠B1BO1+∠B1O1B=90°,所以∠BB1D+∠B1BO1=90°,

所以B1D⊥BO1,BO1∈平面A1C1B,

所以B1D⊥平面A1C1B.

Answer 2

证明：（思路：先证B1D⊥A1C1，再证B1D⊥BC1）
注：∈ 为属于符号
连接BD,B1D1
在正方体中BB1⊥面A1B1C1D1，
因为A1C1∈面A1B1C1D1，
所以A1C1⊥BB1
又因为在正方形A1B1C1D1中对角线A1C1⊥B1D1
所以A1C1 ⊥面BB1D1D
又因为B1D∈面BB1D1D
所以A1C1⊥B1D （1）
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连接B1C
正方体中DC⊥面BB1C1C
因为BC1∈面BB1C1C
所以DC⊥BC1
又因为正方形BB1C1C中，对角线BC1⊥B1C，
所以BC1⊥DCB1
因为B1D∈面DCB1
所以BC1⊥B1D （2）
由（1）、（2）且A1C1∩BC1=C1得B1D⊥面A1C1B

第二个问题： 平面A1DB和平面D1B1C分体对角线AC1为三等分
可以用体积法
由上一问可以知道AC1 是垂直于 面A1BD 和 面CB1D1的。
设AC1分别与 面A1BD 和 面CB1D1 交与点M 和 N
可知AM和C1N就是三棱锥A-A1BD和C1CB1D1的高
设正方体变长为1
V（A-A1BD）= 1/3 * S△AA1B * AD=1/3 * 1/2 * 1=1/6
S△A1BD=√3/2
V(A-A1BD)=1/3 * S△A1BD * AM=1/6
1/6=1/3 * √3/2 *AM 解得 AM=√3/3
即AM=1/3AC1
同理C1N=1/3AC1
所以MN=1/3AC1
所以 平面A1DB和平面D1B1C分体对角线AC1为三等分