Question

在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．

（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．

Answer 1

（1）BG垂直平分AC，则ABCD为正方形，x=AB=BC=4;
（2）由（1）知AF/AB=AB/BC,则AB*AB=1/2*BC*BC,x=AB=2√2；
sin∠ECF=EF/FC=EF/BF=EF/(BE+EF)=AF/(BC+AF)=1/3

追问

EF/BF=AF/BC EF/BE=AF/BC

追答

EF/BF=AF/BC 这个错误
EF/BE=AF/BC 这个正确

Answer 2

（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合，在由AC与BD垂直，利用对角线垂直的矩形为正方形，得到ABCD为正方形，由正方形的四条边相等得到AB=BC=4，可得出x的值为4；
（2）由矩形的对边相等，得到AD=BC=4，又F为AD的中点，得到AF=2，再由矩形的对边平行，得到AF与BC平行，由两直线平行得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形AEF与三角形CEB相似，且相似比为1：2，得到EC=2AE，BE=2EF，即AC=3AE，BF=3EF，在三角形ABC和三角形ABF中，分别利用勾股定理得到AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2，将各自的值代入，两等式左右两边分别相加，得到9（AE2+FE2）=2x2+20，又在直角三角形ABE中，利用勾股定理得到AE2+FE2=AB2=x2，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；由F为AD的中点，利用对称性得到BF=CF，由AF平行与BC，得到两对内错角相等，进而确定出三角形AEF与三角形BEC相似，由相似得比例，且相似比为1：2，利用锐角三角函数定义即可求出∠ECF的正弦值．

Answer 3

(1)x=4，为正方形。
（2）X=2，用相似证明！
先用等面积法，社AB=X，2X=(√4+X^2)*AE,的AE^2=4X^2/4+X^2,在用相似法，AE/AF=AF/FB,得到[4X^2/(4+X^2)] ÷4=4/(X^2+4),化简得到，X=2，
sin∠ECF=EF/FC=EF/EB,得到，sin∠ECF=1/2

Answer 4

我也是找的。一开始不会，后来就会了。望采纳:-）