Question

1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/n^2<1-1/n^2 用数学归纳证明。。。详细过程

Answer 1

1/2^2<1/1*2=1-1/2
1/3^2<1/2*3=1/2-1/3
.........
1/n^2<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
左右全部相加
原式左边<1-1/n
用数学归纳证明:
n=2时,左边=1/2^2=1/4<1-1/2<1-1/2^2,成立
n=k时假设成立，有：
1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/k^2<1-1/k<1-1/k^2
n=k+1时
1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2
<1-1/k+1/(k+1)^2
<1-1/k+1/[k(k+1)]
=1-1/k+[1/k-1/(k+1)]
=1-1/(k+1)
<-1/(k+1^2
所以，n=k+1时也成立
即有1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/n^2<1-1/n^2

追问

1/2^2<1/1*2=1-1/2
这个为什么相等，1*2这个是2还是1的平方

Answer 2

是1/2²还是(1/2)²

追问

1/2²