Question

设函数f（x）=（1/3）x³-ax²-ax，g（x）=2x²+4x+c.

（1）试问函数f（x）能否在x=-1时取得极值说明理由；

（2）若a=-1，当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图像有两个公共点，求c的取值范围.

Answer 1

由题意 f`(x)=x^2-2ax-a 假设在x=-1时f(x)取得极值，
则有f`(-1)=1+2a-a=0 所以a=-1 ,
而此时，f`(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2>=0
函数f(x)在R上为增函数 ，无极值
这与f(x)在x=-1处有极值矛盾，
所以f(x)在x=-1处无极值

第二问 在条件 a=-1下
函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点 即 f(x)=g(x)有解
(1/3)x^3-x^2-3x-c=0 在当x∈[-3,4]时 有2个解
这里 我们 做一下 转化 y= (1/3)x^3-x^2-3x 函数和 y=c 直线 有2个交点
也就是 求 y= (1/3)x^3-x^2-3x 极值
y' =x^2-2x-3 =(x-3)(x+1) y' 在 x<-1 和 x>3 为正 -1<x<3 y'<0
易 只 x=-1 取 极大值5/3 ， x=3 取 极小值 -9
再看端点x=-3 时， y= -9
x=4 时， y= -20/3
看图说话了 把 y 函数 画出来 就知道 y=c 在那些地方 会有2个交点
最后答案是 c属于（-20/3 ,5/3) 和一个点 c=-9
这道题 要学会变换 ，采用图像来解决数学问题，数形结合

Answer 2

1） f'(x)=(x+a)^2>=0
故极值不存在
2） 有k(x)=f(x)-g(x)=）=（1/3）x³+x²+x-(2x²+4x+c)=0有两个根
k'(x)=x^2+2x+1-(4x+4)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)
有x<-1 k(x)增函数
-1<=x<=3 k(x)减函数
x>3 k(x)增函数
则有k(-3)>0
k(3)<0
k(4)>0
或k(-3)<0
k(-1)>0
k(3)<0
k(4)<0
则有-20/3<c<5/3