Question

在三角形ABC中，已知角A=2角C,a+c=2b,求当b=5时，a、c的值

Answer 1

由正弦定理，得
sinA+sinC=2sinB
又，A＝2C，B＝π-(A+C)
所以，sin2C＋sinC＝2sin3C
即，2sinCcosC＋sinC＝2(sin2CcosC＋cos2CsinC)
因为，sinC≠0
所以，2cosC＋1＝2(2cos²C＋cos2C)
即，2cosC＋1＝8cos²C－2
即，8cos²C－2cosC－3＝0
即，(2cosC＋1)(4cosC－3)=0
由A＝2C可得，2C<π
即，C<π/2
所以，cosC>0
所以，cosC＝3/4
由余弦定理，得
cosC＝(a²+b²-c²)/2ab＝3/4
又，a+c=2b，b=5
所以，
[10(a-c)+25]/10a=3/4
即，4(a-c)+10=3a
即，a=4c-10
与a+c=10联立，解得
a=6，c=4
所以，b=5时，a=6、c=4