Question

已知abc都是小于1的正数,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于0.25

Answer 1

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2

这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾

所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
证毕。

Answer 2

a,b,c∈(0,1)
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都是大于0的正数

所以,
0<(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a
=(1-a)a*(1-b)b*(1-c)c
≤(1-a+a)^2/4*(1-b+b)^2/4*(1-c+c)^2/4
=1/64
所以，(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4
若全大于1/4，那么它们的积就会大于1/64，这是不符合条件的