Question

设a,b,c,d都是正整数，并且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b的值(a5是a的五次方,b4是b的四次方……）

Answer 1

由a^5 = b^4, 比较两边质因子的方幂, 可知a中各质因子的指数都是偶数.
因此a是完全平方数, 可设a = m², m为正整数.
同理, 由c^3 = d^2, 可知c是完全平方数, 设c = n², n为正整数.
由(n-m)(n+m) = n²-m² = c-a = 19, 有1< n+m | 19, 只有n+m = 19.
于是n-m = 1, 解得n = 10, m = 9.
代回得a = 81, c = 100, 进而有b = 243, d = 1000.
d-b = 757.

Answer 2

设a5=b4=k20则a=k4，b=k5同理，设c=t2，d=t3t2-k4=19（t-k2）（t+k2）=19因为是正整数所以t-k2=1，t+k2=19t=10，k=3（abcd为正整数，取正值）所以d-b=t3-k5=757

Answer 3

由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故 19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2) 解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757

Answer 4

由a^5 = b^4, 比较两边质因子的方幂, 可知a中各质因子的指数都是偶数.
因此a是完全平方数, 可设a = m², m为正整数.
同理, 由c^3 = d^2, 可知c是完全平方数, 设c = n², n为正整数.
由(n-m)(n+m) = n²-m² = c-a = 19, 有1< n+m | 19, 只有n+m = 19.
于是n-m = 1, 解得n = 10, m = 9.
代回得a = 81, c = 100, 进而有b = 243, d = 1000.
d-b = 757.

Answer 5

=757 你看看对不对