Question

如图，AB为圆O的直径，PA与圆O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC.

求证：角PAC=角B，且PA`BC=AB`CD
若PA=10，sinP=五分之三，求PE的长。

Answer 1

⑴∵PA为切线，∴∠PAC+∠BAC=90°，
∵AB为直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B。
⑵∵OP⊥AC，∴AD=CD，
∵∠APC=∠B，∴RTΔPAD∽RTΔABC，
∴PA/AB=AD/BC，
∴PA*BC=AB*CD。
⑶PA=10，sinP=AD/PA=3/5，∴AD=6，∴AC=12，
∴AD=√(PA^2-AD^2)=8，
由⑵相似得：BC/AC=AD/PD=6/8=3/4，
∴BC=3/4×8=6，
∴AB=√(AC^2+BC^2)=10，
∴OE=OA=1/2AB=5，
PO=√(PA^2+AO^2)=5√3，
PE=PO-OE=5√5-5。

Answer 2

（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD≌△ABC，
∴AP：AB=AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，
∴AD=CD，
∴AP：AB=CD：BC，
∴PA·BC=AB·CD