Question

如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥平面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点

（1) 若PD=1,求异面直线PB和DE所成角的大小
（2）若二面角P-BF-C的余弦值为根号6/6，求四棱锥P-ABCD的体积

Answer 1

DE与BF平行，PB和DE所成角=<PBF
PD=1,DF=1,AF=1,AB=2
由购股定理得到
PF=根号（2）
BF=根号（5）
PB=3
由余弦定理cos<PBF = (PB^2 + BF^2 - PF^2 )/(2PB*BF) = 2/根号（5）
<PBF ~= 26.6

(2), 设PD=x
作CG与BF垂直，垂足G，然后过F点在ABCD平面内做CG的平行线FH，H在CD上
DFH与ABF相似
FD=1，DH=1/2，FH=根号（5）/2
PFH为直角三角形，cos<PFH=根号（6）/6，tan<PFH = 根号（5）
PH=FH*tan<PFH = 5/2
PD = 根号（PH^2- HD^2) = 根号（25/4 - 1/4）=根号（6）
棱锥体积=1/3 S-ABCD * PD = 4根号（6）/3