Question

求函数f(t)=(tanx)^2+2atanx+5在x∈[兀/4,兀/2]时的值域（其中a为常数）

Answer 1

解：
f(x)=(tanx)^2+2atanx+5
令tanx=t
π/4≤x≤π/2
1≤tanx=t tanx的定义域为x≠π/2+kπ
所以呢 在π/4≤x≤π/2内 tanx≥1 所以t≥1
分类讨论要围绕f(t)的定义域即t的取值来讨论
f(t)=t^2+2at+5=(t+a)^2+5-a^2
分类讨论
1) -a≤1即-1≤a
fmin=f(1)=1+2a+5=6+2a
2) -a>1即a<-1
fmin=f(-a)=5-a^2
综上
当-1≤a时 y∈[6+2a,+∞)
当a<-1时 y∈[5-a^2,+∞)

Answer 2

解：f(t)=tan²x+2atanx+5
令tanx=t
则f（t）= t²+2at+5=（t+a）²+5-a²
当t=-a时函数有最小值 5-a²
而 tanx=t x∈[π/4, π/2] t∈[1，∞]
故f（t）= t²+2at+5=（t+a）²+5-a²
的值域是：
a＜0 时为 [5，6+2a]
a＞0时为 [6+2a，5
a＝0时为 [5，6]

Answer 3

∵f(x)=tan�0�5x+2atanx+5=tan�0�5x+2atanx+a�0�5+5-a�0�5=(tanx+a)�0�5+5-a�0�5∵x∈[π/4，π/2)∴tanx≥1令t=tanx，则f(t)=(t+a)�0�5+5-a�0�5，对称轴是-a∴①当-a<1，即a>-1时，f(t)≥f(1)=(1+a)�0�5+5-a�0�5=2a+6②当-a≥1，即a≤-1时，f(t)≥f(-a)=5-a�0�5∴f(x)∈[2a+6，＋∞)，其中a>-1f(x)∈[5-a�0�5，＋∞)，其中a≤-1

Answer 4

f(x)=(tanx)^2+2atanx+5 =(tanx+a)^2+5-a^2∵tanx在x∈[兀/4,兀/2）为增函数，其中a为常数∴f(x)在x∈[兀/4,兀/2]时的值域【2a+6，+∞）

Answer 5

若a≦-1，值域为【5-a�0�5，＋∞) 若a＞-1，值域为【5，＋∞）