Question

一道高中数学题，求详细过程

△ABC中，若asinA+bsinB=csinC+asinB,且c=2bcosA，试判断△ABC的形状

Answer 1

asinA+bsinB=csinC+asinB

由正弦定理得：a²+b²=c²+ab
即：a²+b²-c²=ab
则：cosC=(a²+b²-c²)/2ab=ab/2ab=1/2
所以，角C=60°
c=2bcosA
由正弦定理得：sinC=2sinBcosA
sinC=sin(A+B)，所以：sin(A+B)=2sinBcosA
即：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA
sinAcosB-cosAsinB=0
sin(A-B)=0
则：A=B
又角C=60°
所以，易得：A=B=60°
所以，该三角形是等边三角形

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

解：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,
化简c=2bcosA
sinC=2sinBcosA,
sinAcosB+sinBcosA=2sinBcosA
sinAcosB-sinBcosA=0,
sin(A-B)=0,
A=B,a=b,
asinA+bsinB=csinC+asinB
化简为:asinA=csinC,
a/c=sinA/sinC=sinC/sinA,
(sinA)^2=(sinC)^2,
sinA=sinC,
A=C,
故三角形ABC为等边三角形。

Answer 3

由正弦定理得
a^2+b^2=c^2+ab
余弦定理
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc

带入c=2bcosA
c^2=b^2+c^2-a^2

0=b^2-a^2

a=b
等腰三角形
再带入最上面的式子
a^2+b^2=c^2+b^2

a^2=c^2

a=c=b
等边三角形