判别下列级数的敛散性∑[√(n^2+1)-√(n^2-1)],求详解!
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首先易见这是一个正项级数.
而通项a[n] = √(n²+1)-√(n²-1) = (√(n²+1)-√(n²-1))(√(n²+1)+√(n²-1))/(√(n²+1)+√(n²-1))
= ((n²+1)-(n²-1))/(√(n²+1)+√(n²-1)) = 2/(√(n²+1)+√(n²-1)).
由此通项与1/n是等价无穷小: lim{n→∞} a[n]/(1/n) = lim{n→∞} 2n/(√(n²+1)+√(n²-1)) = 1.
又∑1/n是发散的, 根据比较判别法, 级数∑(√(n²+1)-√(n²-1))发散.
而通项a[n] = √(n²+1)-√(n²-1) = (√(n²+1)-√(n²-1))(√(n²+1)+√(n²-1))/(√(n²+1)+√(n²-1))
= ((n²+1)-(n²-1))/(√(n²+1)+√(n²-1)) = 2/(√(n²+1)+√(n²-1)).
由此通项与1/n是等价无穷小: lim{n→∞} a[n]/(1/n) = lim{n→∞} 2n/(√(n²+1)+√(n²-1)) = 1.
又∑1/n是发散的, 根据比较判别法, 级数∑(√(n²+1)-√(n²-1))发散.
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