Question

高数 数项级数的和怎么求啊 求过程啊

Answer 1

拆分分子n² = n(n-1)+n.
于是∑{1 ≤ n} n²/n! = ∑{1 ≤ n} n(n-1)/n!+∑{1 ≤ n} n/n!
= ∑{2 ≤ n} n(n-1)/n!+∑{1 ≤ n} 1/(n-1)!
= ∑{2 ≤ n} 1/(n-2)!+∑{1 ≤ n} 1/(n-1)!
= ∑{0 ≤ n} 1/n!+∑{0 ≤ n} 1/n!
= 2·∑{0 ≤ n} 1/n!
= 2e.

追问

∑{0 ≤ n} 1/n! 等于e? 这个是？

追答

学到级数了应该知道这个结果的.
证明可以在e^x = ∑{0 ≤ n} x^n/n!中取x = 1.

或者可以用二项式定理展开(1+1/n)^n
= 1+C(n,1)/n+C(n,2)/n²+C(n,3)/n³+...
= 1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)·(1-2/n)/3!+...
< 1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!
取极限可得到e ≤ ∑{0 ≤ n} 1/n!.

反过来(1+1/n)^n展开的前N+1项
1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)·(1-2/n)/3!+...+(1-1/n)(1-2/n)...(1-(N-1)/n)/N!
收敛到∑{0 ≤ k ≤ N} 1/k!.
有e ≥ ∑{0 ≤ k ≤ N} 1/k!, 对任意N成立.
因此e ≥ ∑{0 ≤ n} 1/n!.