Question

设函数f(x)=|2x-1|-|x-3| (1)解不等式f(x)>=4 (2)求函数y=f(x)的最小值

Answer 1

（1）f(x)>4 → |2x-1|-|x-3|≥4
①若 x<1/2，|2x-1|-|x-3|≥4 → 1-2x-3+x≥4 → x≤-6，∴ x≤-6；
②若 1/2≤x<3，|2x-1|-|x-3|≥4 → 2x-1-3+x≥4 → x≤8/3，∴ 1/2≤x≤8/3；
③若 x≥3，|2x-1|-|x-3|≥4 → 2x-1-x+3≥4 → x≥2，∴ x≥3；
f(x)>4的解集：(-∞,-6]∪[1/2,8/3]∪[3,+∞)；
（2）
①若 x<1/2，f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=1-2x-3+x → f(x)=-2-x，f(x)>-2-(1/2)=-5/2；
②若 1/2≤x<3，f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=2x-1-3+x → f(x)=3x-4≥3*(1/2)-4=-5/2；
③若 x≥3，f(x)=|2x-1|-|x-3| → f(x)=2x-1-x+3≥4 → f(x)=x+2≥3+2=5；
由上可知，f(x) 的最小值是 -5/2；

Answer 2

解：当x≥3时，f(x)=2x-1-(x-3)=x+2
当1/2<x<3时，f(x)=2x-1+x-3=3x-4
当x≤1/2时，f(x)=-(2x-1)+x-3=-x-2
(1)当x≥3时，要使f(x)≥4，则有x+2≥4，即x≥2
∴x≥3
当1/2<x<3时，要使f(x)≥4，则有3x-4≥4，即x≥8/3
∴8/3≤x<3
当x≤1/2时，要使f(x)≥4，则有-x-2≥4，即x≤-6
∴x≤-6
不等式f(x)≥4的解集为{x|x≤-6，或8/3≤x}
(2)当x≥3时，f(x)≥5
当1/2<x<3时，-5/2<f(x)<5
当x≤1/2时，f(x)≥-5/2
∴函数f(x)的最小值为-5/2