Question

高等数学梯度

谁能帮我讲解一下梯度有关知识啊~~~ 看了半天没看懂。。

Answer 1

函数u在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数u在该点方向导数取得最大值时的方向，它的模等于方向导数的最大值。下面来说明梯度和切向量垂直，设曲线x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线（c为常数，u(x,y,z)=c表示等值面），由于该曲线在曲面上，所以x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)满足方程u(x,y,z)=c，即u(x(t),y(t),z(t))=c，利用复合函数求导法则猜虚，方程两边同时对t求导数，得 (ðu/ðx)*x‘(t)+(ðu/ðy)*y‘(t)+(ðu/ðz)*z‘(t)=0，所以向量(x'(t),y'(t),z'(t))与向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)垂直。而向量(x'(t),y'(t),z'(t))表示曲线的切向量，向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)表棚兆销示梯度，所以梯度和切向量垂链游直

Answer 2

梯度算符的操作数是标量场（即空间中一点对应一个数）。胡扒态某一点梯度的方向，是在这一点标量场增加最快的方向；梯度的大裤源小是在该点标此迟量场增加的速率，或者说沿梯度方向位置移动单位长度，标量场值的变化。比如地球表面附近的重力势能场，梯度方向就是背离地心，对于1kg的物体来说，其大小就是dE / dh = mg = 9.8J/m = 9.8N在比如静电势场V(r)，梯度方向就是电场矢量E(r)的反方向，大小就是-E(r).

Answer 3

说白了，U=f(x,y,z)的梯度就是（偏U/偏x, 偏U/偏y, 偏U/偏z）。是个向量，方向是方向导数最大的方向，大小为这个方向的方向高逗导棚念渣数的值。具体向量如上所述链悄。

Answer 4

梯度就是一个标题场变化最大的方向，而且它不随坐标系而改变。