Question

设抛物线的顶点在原点，焦点是圆 x^2+y^2-4x=0的圆心

设抛物线的顶点在原点，焦点是圆 x^2+y^2-4x=0的圆心

过抛物线的焦点且斜率为2的直线与抛物线和圆分别相交于A,D,B,C四点，求AB加CD的长.

Answer 1

x^2+y^2-4x=0
(x-2)^2+y^2=4
圆心(2,0)
抛物线焦点(2,0) p/2=2 p=4
y^2=2px
y^2=8x
AB+CD=AD-BC BC=2R=2*2=4
其中BC是圆的直径.
直线:y=2(x-2) y=2x-4 tana=2 tan^2a=4 sec^2a=5 cosa=根5/5 sina=2根5/5
设直线参数方程:
y=2根5/5 *t
x=2+根5/5 *t
其中t是点(2,0)到直线上一点(x,y)的距离(有正负)
将参数方程代入y^2=8x
4/5t^2=16+8根5/5t
4t^2-8根5t-80=0
t^2-2根5 *t-20=0
t1+t2=2根5
t1t2=-20
则:AD^2=|t1-t2|^2=|t1+t2|^2-4t1t2=4*5-(4*(-20))=100
AD=10
则:AB+CD=10 - 4=6

Answer 2

圆心是（2,0）所以抛物线标准方程应设成Y^2=2pX ，由焦点坐标的p/2=2 截得p=4
由此，抛物线方程为Y^2=8X
再由直线的点斜式，Y-Y。=k（X-X。）只斜率为2，又知一个点（2,0）由此，直线方程为y=2X-4
然后分别拿直线方程和园、抛物线方程联立。
得到ABCD四点坐标，再用距离公式得到长度。（实在口算不出来，你自己找张纸算吧。）

Answer 3

首先你先求出圆的圆心来，这你应该会吧，求出圆心后，可知抛物线和直线的方程，联立这两方程，求出交点，用两点间的距离公式可求出AD的长，再减去圆的直径也就是BC即可得到AB加CD的长

Answer 4

圆方程是(x-2)^2+y^2=4,圆心坐标是(2,0),即焦点是(2,0),则有p/2=2,
p=4
故抛物线的方程是y^2=2px=8x
过焦点且斜率是2的直线方程是y=2(x-2),代入到y^2=8x:
4(x^2-4x+4)=8x
x^2-6x+4=0
x1+x2=6,x1x2=4
(x1-x2)^2=6^2-4*4=20
故所截得的弦长=根号(1+k^2)|x1-x2|=根号5*2根号5=10.